lnx的泰勒展开式 用数形结合的思想求lnx函数导数

用数形结合的思想计算lnx函数的导数

Yudehao

2021.1.16

微积分的基本原理是，在微观和无穷小的层次上，把一条小曲线看成一条简单的直线。函数的导数来源于无穷小的定义。例如，取函数y = x 2的导数。

y ' =2-x 2)/δx =/δx；

因为δ x是无穷小，那么高阶δx ^ 2≈0，

因此，y' = 2 * x * δ x/δ x = 2x。

根据同样的基本定义，我们求出函数y=lnx的导数。

显然，y ' =-lnx)/δx = ln/x)/δx = ln/δx。

在这一点上，我们不能再进一步了。

我们现在使用数字和形状相结合的思想。在平面直角坐标系中，函数y=ln 的曲线和函数y=x的直线与点相切。也就是说，在x=0附近的邻域内，这条短曲线可以用一条短直线代替，即ln ≈ x。

既然δ x是无穷小，那么δ x/x ≈ 0满足近似条件；因此ln ≈ δ x/X..

因此，lnx = /δ x = 1/X的导数y′..

如果知道一阶导数，就可以依次得到二阶导数和高阶导数，所以可以用泰勒展开，f= f+f '* x+f ' '* x ^ 2/2！+…+fn'*x^n/n！。其中，n！= 1 * 2 *……* n .

例如，ln 在x=0时的泰勒展开。

显然，f= ln= 0；一阶导数为1/ ，f '= 1；二阶导数为 * ，f ' '=-1；三阶导数为 * * ，f ' '= 2；四阶导数为 * * * ，f ' ' '=-6。

那么，ln= 0+1 * x/1+* x 2/2+2 * x 3/+* x 4/+…高阶无穷

即ln = x-x 2/2+x 3/3-x 4/4。

我们可以看到，在泰勒展开中，当x ≈0时，取一阶近似，有ln ≈x，返回到数字和形状的初始组合。

让我们重新思考我们的想法。我们先看到函数y=ln的曲线与函数y=x的直线在x=0处相切，然后利用“以直代曲线”的微分思想得到ln ≈x。我们把它代入到lnx的导数解析公式中，发现lnx的一阶导数是1/x，最后对任何函数都可以做多项式的泰勒展开有了进一步的理解。

泰勒展开不仅是x=0附近的近似。如果我们能完全得到n次导数，那么它就是一个精确的方程。例如，让我们找到函数f = 4。我们可以通过直接多项式积硬计算或牛顿二项式展开得到 4 = 1+4x+6x 2+4x 3+x 4。

我们使用泰勒展开算法。显然，f=4 = 1；一阶导数为4 * 3，f '= 4；二阶导数为4 * 3 * 2，f ' '= 12；三阶导数为4*3*2*，f ' '= 24；四阶导数是4*3*2*1=24。因为常数的导数是0，所以五阶导数和高阶导数都是0。

因此， 4 = 1+4 * x/1+12 * x 2/2+24 * x 3/3！+24*x^4/4！+0，以下项目均为+0。

也就是泰勒展开， 4 = 1+4 * x+6 * x 2+4 * x 3+x 4，这是一个精确的方程。我们之所以在x=0展开，是因为它更简单方便，而且高阶导数中的项 n = 1。