走马灯数 2020寒假数学科普阅读：《神奇的“走马灯数”—142857》

2021-10-30 10:30

数学科普读物

大家好！我是长沙市匡海滨小学数学大师工作室二组成员陈凯丽先生，来自雨花区沙子堂第二小学。今天和大家分享数学科普的故事——《神奇的“跑马”》—142857。

讲故事之前，我们先来看一道数学题:有一个六位数，是二、三、四、五、六、六位数，它们的数字和原来的六位数完全一样，只是排列的顺序不同。这个六位数是什么？同学们大胆猜一猜！是的，你一定想到了，那就是142857！啊？142857，再读一遍，是不是觉得有点眼熟！继续看下面的问题！

给定6位1ABCDE，这个6位的3倍正好是ABCDE1。这个6位数是什么？

乘法公式:中国武汉加油×中国武汉加=油。不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。请考虑一下。四位数的“中国武汉”=？

真分数a/7转换为小数，小数点后第2019位为8。请想想A代表哪个数字。

是的，142857会频繁出现在不同类型的题目中，比如谜题、数字的句号等。，甚至与无限循环小数有关。

说起142857，这个数字最早是在金字塔中发现的。说到金字塔，每个人都知道它是一个非常神秘的地方，从它出现的数字自然会非同寻常。那么它有多神奇呢？

让我们把这个数字从1乘以6。让我们试试吧！

142857×1=142857

142857×2=285714

142857×3=428571

142857×4=571428

142857×5=714285

142857×6=857142

有没有仔细发现什么规律或现象？是的，从1到6，不管这个数乘以多少次，六个数学“成员”从头到尾都没有变化，每一个乘积总是1后4，4后2，2后8……只是位置顺序的变化。但是除了原来的数字之外，很多同学经常会记错顺序，所以在开始学习的时候，我们可以按照顺时针顺序排列1、4、2、8、5、7。乘1是原始数；乘以2时，我们只需要求第一个数，这个数一定是第二大的2，所以我们从2: 285714顺时针读；乘以3，开头的数字必须是4，428，571，这是第三大数字...哪个数字最高。嗯，很有秩序！

因为142857中发现的有趣规则像灯笼一样让你眼花缭乱，而且它正好有“一盏灯笼”的特点，所以142857也叫“一盏灯笼号”。“走马灯”是一种以轴为中心不停转动，不断追赶灯面剪纸的装饰灯。它是一种具有中国传统特色的普通灯笼。

与其练习，不如学习。下课后，你可以试着做一个142857的“灯笼”！

当然，它的陌生感远不止于此。让我们继续计算。让142857×7=？结果如何呢？对了，答案是999999，太神奇了！第7天，这6个数字消失了，取而代之的是999999。

好奇，要不要继续繁衍下去？如果太麻烦，就用智能工具计算器吧！乘以几次，用笔写下产品。你发现什么了吗？

是的，如图所示，当数字越来越大时，最后一个数字需要每一个多星期除一次。接下来，不需要计算器，只要知道它的除法，就可以知道答案继续累加。比如142857×8=1142856是不是和轮回第三周一样的规律，142857×15=？你可以以后自己试试。所以它也是最古老的，证明了一周有七天。

无数的巧合中必然有概率，无数的巧合中必然有规律性。事实上，可能很难完全理解这种现象的因果关系。既然我们已经知道142857× 7 = 99999，那就一定很容易认为1除以7会有142857个循环。纵向计算告诉我们，产生周期几乎是显而易见的。听着:

如果我们仔细观察垂直计算，会发现一个非常有趣的现象:前六个减法中，余数分别是3、2、6、4、5和1，正好遍历了小于7的1~6，这就意味着下一个余数，不管是什么，都必然会和前一个重复，所以需要生成一个循环。这一现象揭示了一个定理:1/n十进制展开，其循环节点长度不超过n-1。如果循环节点恰好是n-1，则余数必须遍历1，2，...，n-1在垂直计算的每一步，那么显然，垂直计算的1 /n，2/n，...，/n可以和1/n的垂直计算中的某一步连接，循环节点会形成“走马灯”效果，n .如下图所示。

相反，如果循环节点小于n-1，那么余数一定不能遍历1，2，…，n-1，这样就不会出现“跑灯”的效果。

同学们，现在被142857震惊还为时过早。自出土以来，其神秘程度已超越河图洛书，仅次于圆周率和欧拉数。刚才我们做了乘法，找到了规律。现在，让我们把它分开，把这个数中的成员任意除加，做加法。

142+857=?

14+28+57=?

你想好了吗？是的，142+857 = 999，继续拆分，9+9+9=27，2+7=9！14+28+57=99,9+9=18,1+8=9!这个结果真的是巧合吗？如果孩子的好奇心得不到满足，就把数字一个个分开:1+4+2+8+5+7 = 272+7 = 9。天啊，又是九点了！上面所有乘积的奇异和是9！最后，更不可思议的是，把142857和142857相乘，结果是20408122449。这个数字看起来并不特别，但是如果我们把这个有十一个数字的数字分成前五个数字和后六个数字相加，你会发现什么奇迹呢？20408+122449=142857!甚至是它本身。你有没有注意到，每次做手术，都能给我们带来惊喜！

怎么会有这么多巧合？有什么法律是逃不掉的？答案是肯定的，但是就等我们同学自己去想了！